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Les équations différentielles sont des égalités faisant intervenir une fonction f et ses dérivées f', f ", ... comme par exemple dans :
(1) : pour tout x de I, f ' (x) - f (x) = 2 x + 4.
(2) : pour tout x de I, f " (x) + 3 xf ' (x) - f (x) = ex (I est un intervalle).
Résoudre une équation différentielle c'est trouver toutes les fonctions vérifiant une égalité donnée ; il n'existe pas de méthode générale et la résolution d'une équation différentielle reste donc difficile voire impossible.
Notons enfin que l'on a l'habitude de noter (1) et (2) sous la forme traditionnelle suivante :
(1) y ' - y = 2 x + 4.
(2) y " + 3 x y ' - y = ex où y désigne une fonction.
Beaucoup de phénomènes de physique, en mécanique et électricité par exemple, se ramènent à des équations différentielles. Exemple : si t -> y (t) est la fonction qui à l'instant t associe la position y d'un mobile, y ' sera la vitesse de ce mobile et y " l'accélération. Or dans un système dynamique, y " est liée à une force qui est souvent fonction de la position et de la vitesse. Ceci conduit alors à une équation entre y, y ' et y ", équation différentielle dite du second ordre.
Les équations différentielles ont été inventées par Newton (1642-1727). C'est le début de la physique moderne et l'utilisation de l'analyse pour résoudre la loi de la gravitation universelle conduisant à l'ellipsité des orbites des planètes dans le système solaire. Leibniz (1646-1716) érige l'analyse en discipline autonome mais il faut attendre les travaux d'Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-1813) pour voir apparaître les méthodes permettant la résolution des équations linéaires (cf. page sur les équations linéaires pour des cas particuliers).
Dans la foulée de Newton, les mathématiciens Laplace, Lagrange et Gauss développent les méthodes de la théorie des perturbations ; ces méthodes permettent par exemple de déterminer les perturbations séculaires (i.e. petites par rapport au mouvement annuel) des orbites des planètes.
Plus tard, Liouville (1890-1882) montrera l'impossibilité de résoudre certaines équations différentielles même d'ordre peu élevé.
De nos jours beaucoup de mathématiciens, à commencer par Poincaré (1854-1912), ont montré que les solutions d'équations différentielles peuvent être très instables ; ces équations peuvent conduire à des situations chaotiques à cause d'une grande sensibilité aux conditions initiales. Ces mathématiciens ont contribué à détruire le mythe que l'on pouvait décrire le monde uniquement à partir d'équations différentielles qu'ils suffisaient alors de résoudre !
Par exemple l'atmosphère de la terre peut être simulée par des équations différentielles qui vont permettre de calculer à partir de données initiales le temps à des instants donnés successifs.
Mais on sait aussi qu'entre une situation calculée par ordinateur et une situation météo réelle il y a a une différence qui va en s'accroissant à tel point qu'au bout de 8 à 10 jours il peut avoir une situation simulée qui n'a rien de commun avec la situation réelle. Il y a une telle sensibilité aux conditions intiales qu'on dit même que le vol d'un papillon au dessus de Pékin peut entraîner l'apparition d'un cyclone dans le sud des états-unis quelques semaines après.